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\section{Drôles de cookies}
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Perrine a décidé de faire des cookies aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. Elle dispose d'un outil qui lui permet de déposer comme elle le souhaite de la pâte à cookie dans le plan suivant un nombre fini de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de segment de longueur $0$). En chaque point $P$ de l'un de ces segments, l'outil permet à Perrine de déposer de la pâte en quantité $R(P)\geq 0$ plus ou moins importante.
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Lorsqu'elle est au four, la pâte s'étale et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où Perrine met de la pâte. La pâte de Perrine ne se repousse pas elle même. Par exemple si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la pâte s'étalera en un cookie de forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement. La forme du cookie après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$ où $P$ parcourt l'ensemble des points où Perrine a mis de la pâte.
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On appelle \textbf{cookie du plan}, ou plus simplement cookie, un ensemble de points du plan telle que la pâte de Perrine peut s'étaler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé.
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La figure \ref{fig:pate} représente deux exemples de cookies. Le cookie orange est obtenu en étalant une pâte de rayon constant égal à $1$ sur un segment de longueur $1$. Le cookie bleu est obtenu à partir d'un segment de pâte de rayon variable et d'un autre point de pâte.
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\begin{figure}[!ht]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{scope}[scale=1.5]
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\fill[orangeAnimath] (0,1) arc (90:270:1) -- ++(1,0) arc (-90:90:1) -- cycle;
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\draw [thick] (0,0) -- ++(1,0);
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\draw[dashed, semitransparent] (0.3,0) node{\small $\times$} node[below]{$P_1$}
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circle (1) -- ++(-0.8,0.6) node[midway,sloped,above]{\footnotesize $R(P_1)$};
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\end{scope}
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\begin{scope}[scale=1,shift={(6,0)}]
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\fill[bleuAnimath] (105:1.5) arc (105:345:1.5) -- ++(75:{sqrt(3)/2}) arc (-15:105:1) -- cycle;
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\fill[bleuAnimath] (2,0) circle (1);
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\draw [thick] (0,0) -- ++(45:1);
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\draw [ultra thick] (2cm-1pt,0) -- (2cm+1pt,0);
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\foreach \i in {0.2,0.8} {
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\draw[dashed,semitransparent] (45:\i) node{\small $+$} circle ({1.5-\i/2});
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}
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\draw[dashed,semitransparent] (2,0) node{\small $\times$} circle (1);
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}
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\caption{Deux exemples de cookies.}
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\label{fig:pate}
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\end{figure}
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Perrine aimerait notamment fabriquer les formes de cookie suivantes :
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\begin{enumerate}
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\item un disque de rayon $R$;
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\item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$;
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\item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$;
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\item un anneau de rayon intérieur $R_1$ et de rayon extérieur $R_2$ (avec $R_2>R_1$), les deux cercles qui constituent le bord de l'anneau étant inclus dans le cookie.
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\end{enumerate}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\fill[orangeAnimath] (0,0) circle (1);
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\draw (0,0) -- (1,0) node[midway,above]{$R$};
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\fill[bleuAnimath] (2,-0.5) -- ++(0,1) node[black,midway,left]{$a$} -- ++(2,0) node[black,midway,above]{$b$} -- ++(0,-1) -- cycle;
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\fill[orangeAnimath] (5,-1) -- ++(1,2) node[black,midway,left]{$a$} -- ++(2,-2) node[black,midway,above right]{$b$} -- cycle node[black,midway,below]{$c$};
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\fill[bleuAnimath,even odd rule] (10,0) circle(0.8) circle(1.2);
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\draw (10,0) -- ++(0:0.8) node[midway,below]{$R_1$};
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\draw (10,0) -- ++(30:1.2) node[midway,above]{$R_2$};
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\q La forme a) est-elle un cookie ? Même question pour chacune des formes b), c) et d).
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\medskip
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La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire un cookie est la somme des longueurs des segments où Perrine place de la pâte.
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\q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des cookies, avec quelles quantités de pâte Perrine peut-elle la réaliser ?
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\medskip
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La précision de l'outil de Perrine étant limitée, la quantité de pâte qu'elle dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Perrine est de précision~$r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Perrine. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Perrine peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux questions suivantes vont donc dépendre de $r$.
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En particulier, les $0$-cookies sont exactement les cookies, et tout $r$-cookie est un cookie.
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\q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-cookies, en fonction de $r$.
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\q On suppose dans cette question que Perrine réalise un $r$-cookie sans faire de segment de longueur $0$ et tel qu'il est impossible d'obtenir la même forme en utilisant strictement moins de pâte. Est-il possible qu'une répartition différente de la même quantité de pâte permette d'obtenir le même $r$-cookie, toujous sans segment de longueur $0$ ?
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%\q Si $R(P)=r$ ne dépend pas de P, quelles valeur peut prendre le rapport entre la quantité de pâte nécessaire et l'aire de la brioche après cuisson ?
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%\q Eric souhaite faire des brioches d'un seul tenant (il est toujours possible de faire un chemin de segments consécutifs dans la brioche qu'il obtient) [i.e. connexes par arcs + connexe ]. Parmi les points où Eric a placé de la pâte, est-il toujours possible de trouver un chemin de segments de pâte reliant deux points $P$ et $P'$.
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%\q En fait, Eric se rend compte qu'il regardait ses brioches gonfler par au-dessus mais qu'elle gonfle en fait dans l'espace et non pas dans le plan. La brioche occupe alors la réunion des boules de centre P et de rayon $R(P)$ (où les points $P$ où Eric place de la brioche sont toujours dans le plan). Quel est alors le volume que prend la brioche si la forme vue au-dessus est :
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%\begin{enumerate}
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% \item un disque de rayon $R$ ?
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% \item un carré de côté $C$ ?
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% \item Un rectangle de côté $a$ et $b$ ?
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%\end{enumerate}
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\medskip
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Perrine s'intéresse maintenant à la forme du bord de ses $r$-cookies. Pour cela on suppose qu'elle dispose de deux fonctions continues $x : \R \to \R$ et~$y : \R \to \R$ qui vérifient les propriétés suivantes :
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\begin{itemize}
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\item elles sont 1-périodiques, c'est-à-dire que $x(t+1) = x(t)$ et $y(t+1) = y(t)$ pour tout $t$ réel,
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\item pour toutes valeurs de $t$ et $t'$, tel que on a simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$, alors la différence $t-t'$ est entière.
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\end{itemize}
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Perrine trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\left(x(t),y(t)\right)$, appelé \textbf{contour}. Elle cherche maintenant à savoir si la partie du plan que le contour délimite (que l'on suppose bien définie) est un~$r$-cookie.
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\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas un~$r$-cookie ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ?
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\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit un cookie, mais qui ne soit un~$r$-cookie pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ?
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%Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ?
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%\q Existe-t-il des formes donc le contour est $C^1$ (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? Et si on est $C^1$ sauf en un nombre fini de points ?
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\q Donner d'autres conditions sur une forme pour que ce soit un $r$-cookie.
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%\q Maintenant on souhaite que Eric soit "proche" de la forme finale (l'idée serait d'approximer un coin par exemple). On suppose qu'il essaie d'obtenir la forme A mais qu'il obtienne la forme B, on définit alors un coefficient $\rho(A,B):=\rho(A \Delta B)/\rho(A)$ qui estime à quel point on est proche de la bonne forme. Si $\rho=0$ on dira que B recouvre presque partout A.
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\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche, par exemple en dimension $3$. |