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TeX
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\section{Triominos}
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\graphicspath{ {./images/} }
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Soit $n\geq 1$ un entier, fixé dans la suite. Alice a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté.
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\begin{center}
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\begin{figure}[h]
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0,0)--(2,0)--(1,1.732)--cycle;
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\draw (1,.2) node{$1$};
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\draw (.65,.766) node{$3$};
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\draw (1.35,.766) node{$3$};
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\end{tikzpicture}
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\caption{Un exemple de triomino avec sur les côtés les valeurs $1, 3$ et $3$}
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\end{figure}
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\end{center}
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Alice décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident.
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\begin{center}
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\begin{figure}[h]
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0,0)--(4,0)--(2,3.464)--cycle;
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\draw (2,0)--(3,1.732)--(1,1.732)--cycle;
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\draw (1,.2) node{$2$};
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\draw (.65,.766) node{$2$};
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\draw (1.35,.766) node{$2$};
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\draw (3,.2) node{$3$};
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\draw (2,1.932) node{$1$};
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\draw (1.65,2.498) node{$2$};
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\draw (2.35,2.498) node{$1$};
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\draw (2,1.532) node{$1$};
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\draw (1.65,.966) node{$2$};
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\draw (2.35,.966) node{$2$};
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\draw (2.65,.766) node{$2$};
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\draw (3.35,.766) node{$1$};
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\end{tikzpicture}
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\caption{Exemple de configuration possible}
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\end{figure}
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\end{center}
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Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à partir de l'autre par rotation. En revanche, on ne peut pas retourner un triomino. Ainsi, les deux triominos ci-dessous sont considérés comme distincts.
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\begin{center}
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\begin{figure}[h]
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\begin{tikzpicture}
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\draw[thick, orangeAnimath] (0,0)--(4,0)--(3,1.732)--(2,0)--(1,1.732)--cycle;
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\draw[thick, bleuAnimath] (4,0)--(6,0)--(5,1.732)--cycle;
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\draw (1,.2) node{$2$};
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\draw (3,.2) node{$1$};
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\draw (.65,.766) node{$1$};
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\draw (1.35,.766) node{$3$};
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\draw (2.65,.766) node{$3$};
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\draw (3.35,.766) node{$2$};
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\draw (5,.2) node{$2$};
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\draw (4.65,.766) node{$1$};
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\draw (5.35,.766) node{$3$};
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\end{tikzpicture}
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\caption{Les deux triominos orange sont identiques, mais le triomino bleu est différent}
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\end{figure}
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\end{center}
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Alice possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire de chaque triomino possible en utilisant les nombres de $1$ à $n$.
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\q Combien Alice possède-t-elle de triominos ?
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Alice souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante :
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\begin{center}
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\begin{figure}[h]
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0,0)--(8,0);
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\draw (1,1.766)--(7,1.766);
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\draw (0,0)--(1,1.766)--(2,0)--(3,1.766)--(4,0)--(5,1.766)--(6,0)--(7,1.766)--(8,0);
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\end{tikzpicture}
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\caption{Exemple de disposition s'il y a $7$ triominos}
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\end{figure}
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\end{center}
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\q a) Alice peut-elle disposer les triominos en ligne droite si $n=1$ ? $n=2$ ? $n=3$ ?
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b) Et pour $n$ quelconque ?
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Une configuration est dite \textit{connexe} si, pour tout couple de triominos, il existe un chemin dans les triominos qui va de l'un à l'autre. Un chemin est une suite de triominos adjacents, et dire que deux triominos sont adjacents signifie qu'ils ont un côté commun.
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\q Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?
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Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur chaque sommet. Alice souhaite donc que les nombres écrits sur deux sommets adjacents coïncident.
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\begin{center}
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\begin{figure}[h]
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0,0)--(4,0)--(2,3.464)--cycle;
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\draw (2,0)--(3,1.732)--(1,1.732)--cycle;
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\draw (.3,.2) node{$2$};
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\draw (1.7,.2) node{$4$};
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\draw (1,1.366) node{$2$};
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\draw (2.3,.2) node{$4$};
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\draw (3.7,.2) node{$2$};
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\draw (3,1.366) node{$1$};
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\draw (2,.4) node{$4$};
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\draw (1.35,1.516) node{$2$};
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\draw (2.65,1.516) node{$1$};
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\draw (1.3,1.966) node{$2$};
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\draw (2.7,1.966) node{$1$};
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\draw (2,3.064) node{$3$};
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\end{tikzpicture}
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\caption{Exemple de configuration possible}
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\end{figure}
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\end{center}
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\q Reprendre les questions précédentes dans ce cas.
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\q Quel est le plus grand losange qu'on puisse former en assemblant les pièces ?
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\q Proposez et étudiez d'autres pistes de recherche. |