Corrections gentillesse

Correction de la figure.
Nombreux ajustements de formulation.

src/gentillesse.tex

@@ -9,7 +9,7 @@ En partant d'un lutin $\ell$ donné, on dit qu'un nombre $j \in N$ est \emph{ré
 Par ailleurs, on dit que le nombre $\infty$ est réalisable s'il est possible qu'une situation où tous les lutins sont de bonne humeur n'arrive jamais.
 
 
-Par exemple, si on suppose que chaque lutin peut sourire à n'importe lequel de ses voisins, que le pays des Merveilles $M$ est constitué de $3$ lutins, où un lutin est ami aux deux autres, et qu'on part du lutin ami aux deux autres, alors tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 sont réalisables. Voir Figure \ref{fig:lutins}.
+Par exemple, si on suppose que chaque lutin sourit à exactement 1 de ses amis (n'importe lequel), que le pays des Merveilles $M$ est constitué de $3$ lutins, où un lutin est ami aux deux autres, et qu'on part du lutin ami aux deux autres, alors tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 sont réalisables. Voir Figure \ref{fig:lutins}.
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -23,6 +23,26 @@ Par exemple, si on suppose que chaque lutin peut sourire à n'importe lequel de
     \draw (A) -- (B);
     \draw (B) -- (C);
     
+    % Les propagations
+    \draw[-stealth] (B) edge[bend right] node [left] {} (A);
+
+    \node at (6, 0) {\Large Jour 0};
+\end{tikzpicture}
+
+\begin{tikzpicture}
+    % Les nœuds avec des sourires
+    \node[circle, draw, fill=black] (A) at (0,0) {};
+    \node[circle, draw, fill=black] (B) at (2,0) {};
+    \node[circle, draw, fill=white] (C) at (4,0) {};
+    
+    % Les arêtes
+    \draw (A) -- (B);
+    \draw (B) -- (C);
+    
+    % Les propagations
+    \draw[-stealth] (B) edge[bend right] node [left] {} (A);
+    \draw[-stealth] (A) edge[bend right] node [left] {} (B);
+
     \node at (6, 0) {\Large Jour 1};
 \end{tikzpicture}  
 
@@ -36,6 +56,10 @@ Par exemple, si on suppose que chaque lutin peut sourire à n'importe lequel de
     \draw (A) -- (B);
     \draw (B) -- (C);
     
+    % Les propagations
+    \draw[-stealth] (B) edge[bend left] node [left] {} (C);
+    \draw[-stealth] (A) edge[bend right] node [left] {} (B);
+
     \node at (6, 0) {\Large Jour 2};
 \end{tikzpicture}    
 
@@ -54,37 +78,20 @@ Par exemple, si on suppose que chaque lutin peut sourire à n'importe lequel de
 
 
 \caption{Un exemple de propagation, qui montre que le nombre 3 est réalisable.
-Les cercles correspondent aux lutins, et les cercles colorés en noir correspondent aux lutins de bonne humeur.}
+Les disques correspondent aux lutins, ils sont remplis pour les lutins de bonne humeur. Les flèches indiquent à quel lutin chacun sourit.}
     \label{fig:lutins}
 \end{figure}
 
 
 On note $A(M,\ell)$ l'ensemble des nombres réalisables. Dans l'exemple précédent, on a donc $A(M,\ell) = \{\infty,2,3,4,...\}$.
 
-
-%Au Pays des Merveilles, il y a $n$ lutins qui peuvent soit être de bonne humeur, soit être de mauvaise humeur. 
-%Les lutins sont numérotés de $1$ à $n$ et constituent les sommets d'un graphe $G=(V,E)$ où $V=\llbracket 1,n \rrbracket$ et $E\subset V\times V$ est l'ensemble des arêtes du graphe. On dit que deux lutins $v_1,v_2\in V$ sont \emph{amis} si $(v_1,v_2)\in E$ (on suppose que c'est équivalent à $(v_2,v_1)\in E$).
-%\footnote{à définir mieux...}
-
-%Chaque jour, chaque lutin de bonne humeur peut faire un sourire à un ou plusieurs de ses amis. Chaque lutin qui reçoit un sourire devient de bonne humeur (et le reste s’il l’était déjà).
-%Le premier jour, il n’y a qu’un seul lutin qui est de bonne humeur.
-
-%Une réalisation $\omega$ est une suite 
-%$(V_n)_{n\in\N}$ de sous-ensembles de $V$ telle que, pour tout $n\in\N$, $V_n$ corresponde à l'ensemble des lutins de bonne humeur au jour $n$.
-%\footnote{ambigu? on pourrait aussi définir de façon plus formelle: Une réalisation $\omega$ est une suite croissante $(V_n)_{n\in\N}$ de sous ensembles de $V$ (c'est-à-dire, $V_0\subset V_1\subset\hdots V$) telle que $V_0=\{v\}$ et il existe $N\in\N$ tel que $V_N=V$ + condition sur les arêtes.} 
-%Pour une réalisation $\omega$, on appelle \emph{durée de $\omega$} et on note $\tau(\omega)$ le plus petit $N\in\N$ tel que $V_N=V$.
-%Pour un graphe $G=(V,E)$ et un lutin $v\in V$, on note $A(G,v)$ l'ensemble des durées de toutes les réalisations possibles pour le graphe $G$ quand le premier lutin heureux est $v$.
-%Voir Figure~\ref{} pour un exemple.
-
-
 \medskip
 
-\q  Dans un premier temps, un lutin sourit à exactement deux de ses amis, en priorité aux lutins de mauvaise humeur (c'est-à-dire qu'il ne peut pas sourire à un lutin de bonne humeur s'il ne sourit pas à tous ses amis de mauvaise humeur). Déterminer $A(M,\ell)$ (qu'on notera $A_1(M,\ell)$ pour éviter les ambiguités) si le pays des Merveilles est un réseau avec $a\in\N$ lignes et $b\in\N$ colonnes, avec $a,b \ge 2$, comme dans la Figure~\ref{fig:reseau_lutin}. On pourra distinguer les cas suivants
+\q  Dans un premier temps, un lutin sourit à exactement deux de ses amis, en priorité aux lutins de mauvaise humeur (c'est-à-dire qu'il ne peut pas sourire à un lutin de bonne humeur s'il ne sourit pas à tous ses amis de mauvaise humeur). Déterminer $A(M,\ell)$ (qu'on notera $A_1(M,\ell)$ pour éviter les ambiguités) si le pays des Merveilles est un réseau avec $a\in\N$ lignes et $b\in\N$ colonnes, avec $a,b \ge 2$, comme dans la Figure~\ref{fig:reseau_lutin}. On pourra distinguer les cas suivants :
-%On commencera par étudier le cas où (1.a) le lutin initial $\ell$ a 2 voisins (ie dans un coin); puis (1.b) le lutin initial $\ell$ a 3 voisins (ie sur un côté); avant d'étudier celui où (1.c) le lutin initial $\ell$ a 4 voisins (ie quelque-part au centre).
 \begin{enumerate}
-\item Si le lutin initial $\ell$ a 2 voisins (c'est-à-dire, dans un coin);
+\item Si le lutin initial $\ell$ a 2 amis (c'est-à-dire, dans un coin);
-\item Si le lutin initial $\ell$ a 3 voisins (c'est-à-dire, sur un côté);
+\item Si le lutin initial $\ell$ a 3 amis (c'est-à-dire, sur un côté);
-\item Si le lutin initial $\ell$ a 4 voisins (c'est-à-dire, ni sur un coin ni sur un côté).
+\item Si le lutin initial $\ell$ a 4 amis (c'est-à-dire, ni sur un coin ni sur un côté).
 \end{enumerate}
 
 
@@ -120,8 +127,6 @@ On note $A(M,\ell)$ l'ensemble des nombres réalisables. Dans l'exemple précéd
 \caption{\label{fig:reseau_lutin}Le pays des Merveilles pour la question 1, avec $a=3$ et $b=6$.}
 \end{figure}
 
-%\q Question facile/moyenne à rajouter.
-
 \q Quels sont les ensembles $E$ tels qu’il existe une disposition des lutins $M$ et un lutin de départ $\ell\in M$ tel que $A_1(M,\ell)=E$ ?
 
 \q Quels sont les ensembles $E$ tels qu’il existe une disposition des lutins $M$ telle que l'union sur tous les $\ell\in M$ de $A_1(M,\ell)$ soit égale à $E$ ?
@@ -139,8 +144,8 @@ On note~$\tau$ la variable aléatoire correspondant au numéro du premier jour o
 \begin{enumerate}
 \item Si chaque lutin est ami avec tous les autres;
 \item Si les lutin sont numérotés de $1$ à $n$, et que chaque lutin $\ell_k$ a deux amis : les lutins $\ell_{k-1}$ et $\ell_{k+1}$ (les lutins $\ell_1$ et $\ell_n$ sont également amis).
-\item Si $n$ est pair et la population des lutins est séparée en deux clans de taille $n/2$, tels qu'un lutin d'un clan est ami avec tous les lutins de l'autre clan, et seulement avec ceux-là. Pour cette question, déterminer également la limite quand $n \to \infty$, avec $p$ fixé;
+\item Si $n$ est pair et la population des lutins est séparée en deux clans de taille $n/2$, tels qu'un lutin d'un clan est ami avec tous les lutins de l'autre clan, et seulement avec ceux-là. Pour cette question, déterminer également, à $p$ fixé, la limite quand $n \to \infty$ ;
-\item Si $M$ est le pays décrit dans la question 1, en fonction de $a$ et $b$.
+\item Si $M$ est le pays décrit dans la question 1, en fonction de $a$ et $b$ et du lutin de départ.
 \end{enumerate}
 
 \q On fixe $p \in ]0,1]$, $n \ge 3$ et $k \ge n-1$.
@@ -156,4 +161,3 @@ Parmi ces pays, que peut valoir, au maximum, l’espérance de $\tau$:
 %\medskip
 
 \q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
-