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Mise du problème.

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-\section{Titre}
+\section{Inégalités graphiques}
 
-Énoncé
+Alexandra et Guillaume jouent avec des graphes. Un \textbf{graphe} est un ensemble de sommets avec un ensemble d'arêtes, c'est-à-dire que certains pairs de sommets sont liées.
 
-\q Première question
+Étant donné un graphe $G$ à $n$ sommets, ils numérotent les sommets de 1 à $n$. Le \textbf{poids d'une arête} est le produit des deux nombres écrits aux sommets de l'arête. Le \textbf{poids d'une numérotation} est la somme de tous les poids des arêtes. Figure \ref{Fig1} montre deux exemples. 
 
-\q Deuxième question
+\begin{figure}[!ht]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\draw (0,0) -- (1.6,0);
+\draw (0,0) -- (0,1.6);
+\draw (1.6,0) -- (0,1.6);
+\draw (1.6,1.6) -- (1.6,0);
+\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35);
 
-\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
+\draw (0,0) node {1};
+\draw (1.6,0) node {2};
+\draw (0,1.6) node {3};
+\draw (1.6,1.6) node {4};
+
+\begin{scope}[xshift=4cm]
+\draw (0,0) -- (1.6,0);
+\draw (0,0) -- (0,1.6);
+\draw (1.6,0) -- (0,1.6);
+\draw (1.6,1.6) -- (1.6,0);
+\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35);
+
+\draw (0,0) node {4};
+\draw (1.6,0) node {3};
+\draw (0,1.6) node {2};
+\draw (1.6,1.6) node {1};
+\end{scope}
+\end{tikzpicture}
+\caption{A gauche, un exemple de poids 19. A droite un exemple de poids 29.}\label{Fig1}
+\end{figure}
+
+Alexandra cherche les numérotations qui maximisent le poids, tandis que Guillaume cherche à le minimiser.
+
+\q Quelle est la valeur maximale et minimale pour le graphe du carré, illustré dans la Figure \ref{Fig2}?
+
+\begin{figure}[!ht]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\draw (0,0) -- (1.6,0);
+\draw (0,0) -- (0,1.6);
+\draw (1.6,1.6) -- (0,1.6);
+\draw (1.6,1.6) -- (1.6,0);
+\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35);
+\end{tikzpicture}
+\caption{Le graphe du carré.}\label{Fig2}
+\end{figure}
+
+\q Quelle est la valeur maximale et minimale dans les cas suivants (voir aussi Figure \ref{Fig3}) :
+
+\noindent\textbf{a)} le graphe complet $K_n$, où toutes les pairs de sommets sont reliées par une arête.
+
+\noindent\textbf{b)} le graphe des pairs $P_n$ avec $2n$ sommets, regroupés par pairs.
+
+\noindent\textbf{c)} le graphe $A_n$ à $n$ sommets, formant un anneau.
+
+\begin{figure}[!ht]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\draw (0,0) -- (1.6,0) -- (2.4,1.39) -- (1.6,2.77) -- (0,2.77) -- (-0.8,1.39) -- (0,0);
+\draw (1.6,0) -- (1.6,2.77) -- (0,0) -- (0,2.77) -- (1.6,0);
+\draw (-0.8,1.39) -- (2.4,1.39) -- (0,0) -- (1.6,2.77) -- (-0.8,1.39);
+\draw (1.6,0)--(-0.8,1.39);
+\draw (0,2.77)--(2.4,1.39);
+\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (2.4,1.39) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.6,2.77) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (0,2.77) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (-0.8,1.39) circle (0.35);
+
+\begin{scope}[xshift = 4.4cm, yshift=0.64cm]
+\draw (0,0)--(0,1.6);
+\draw (1.4,0) -- (1.4,1.6);
+\draw (2.8,0) -- (2.8,1.6);
+\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.4,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.4,1.6) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (2.8,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (2.8,1.6) circle (0.35);
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift = 10cm]
+\draw (0,0) -- (1.6,0) -- (2.4,1.39) -- (1.6,2.77) -- (0,2.77) -- (-0.8,1.39) -- (0,0);
+\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (2.4,1.39) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.6,2.77) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (0,2.77) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (-0.8,1.39) circle (0.35);
+\end{scope}
+\end{tikzpicture}
+\caption{Les graphes $K_6$ (à gauche), $P_3$ (au milieu) et $A_6$ (à droite).}\label{Fig3}
+\end{figure}
+
+\q Que se passe-t-il pour le graphe $G_n$ à $n^2$ sommets, formant une grille d'un carré de côté $n$ (voir Figure \ref{Fig4}) ?
+
+\begin{figure}[!ht]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\draw (0,0) -- (1.6,0) -- (3.2,0);
+\draw (0,1.6) -- (1.6,0) -- (3.2,1.6);
+\draw (0,3.2) -- (1.6,3.2) -- (3.2,3.2);
+\draw (0,0) -- (0,1.6) -- (0,3.2);
+\draw (1.6,0) -- (1.6,1.6) -- (1.6,3.2);
+\draw (3.2,0) -- (3.2,1.6) -- (3.2,3.2);
+\draw[fill=white] (0,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.6,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (0,1.6) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.6,1.6) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (1.6,3.2) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (3.2,1.6) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (0,3.2) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (3.2,0) circle (0.35);
+\draw[fill=white] (3.2,3.2) circle (0.35);
+\end{tikzpicture}
+\caption{Le graphe $G_3$.}\label{Fig4}
+\end{figure}
+
+\q Trouver des formules ou estimations pour le poids maximal et minimal d'un graphe quelconque.
+
+\medskip
+Alexandra et Guillaume décident de changer la définition du poids d'une arête. Au lieu d'utiliser le produit des deux numéros aux sommets extrémaux, ils utilisent une fonction $f$. Le poids d'une numérotation reste la somme des poids de toutes les arêtes.
+
+\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le maximum.
+
+\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le plus grand commun diviseur (pgcd).
+
+\q Reprendre les questions précédentes où on utilise pour la fonction $f$ le plus petit commun multiple (ppcm).
+
+\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.