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src/brioches.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Brioches}
+\section{Brioches gonflées}
 
 Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du $\mathbb{T} \mathbb{F} \mathbb{J} \mathbb{M}^2$. Il dispose d'un outil qui permet de déposer de la pâte à brioche suivant des segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de ligne droite de longueur 0). Lorsqu'elle est au four, la brioche gonfle et rempli le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où Eric a mis de la pâte. La machine peut déposer de la pâte plus ou moins concentré et le rayon $R(P)$ n'est pas forcément le même partout. La brioche d'Eric ne se repousse pas elle même, Si le disque de centre P et de rayon $R(P)$ est contenu dans le rayon $R(P')$, alors La brioche aura pour forme le rayon $R(P')$ uniquement. La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$.
 

src/depollution_seine.tex

@@ -1,27 +1,240 @@
+
+\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}
+
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+
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+\newcommand{\titreLong}{Problèmes du \numeroTournoi\textsuperscript{ème} Tournoi Français \\ des Jeunes Mathématiciennes et Mathématiciens}
+\title[\titre]{TFJM\textsuperscript{2} 2022: Fiches du jury}
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+
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+\thispagestyle{empty}
+
+\textbf{Avertissement :}
+Le contenu de ces fiches doit rester confidentiel jusqu'au tournoi national ! Même si vous encadrez une équipe, vous ne devez pas diffuser son contenu aux élèves au risque de dénaturer le tournoi ! 
+
+\tableofcontents
+
+\newpage
+
 \section{Dépollution de la Seine}
 
-Pour préparer les Jeux Olympiques de 2024, les organisateurs ont besoin de dépolluer des bassins alimentés par la Seine. Une équipe de biologistes a découvert une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Pour éviter tout risque pour les baigneurs, ces bactéries ne survivent et ne se multiplient que dans l'eau polluée. Les bactéries dans l'eau propre meurent instantanément. Les bactéries dans l'eau polluée meurent au bout de $D$ jours (où $D$ est un entier strictement positif). Les bactéries dans l'eau polluée dépolluent l'eau en exactement $E$ jours (où $E$ est un entier strictement positif). Chaque jour, les bactéries dans l'eau polluée se multiplient. Si les bactéries occupaient un volume $v(T)$ d'eau le jour $T$, alors le jour $T+1$, de nouvelles bactéries naissent et occupent un volume d'eau égal à $v(T+1) = K v(T)$ (où $K$ est un réel strictement positif). Si $K v(T) > V$, on a alors $v(T+1) = V$ et le bassin est dit entièrement dépollué. On ne sait pas si l'eau que les nouvelles bactéries occuperont était déjà dépolluée, occupée par des bactéries ou non.
+Pour certaines épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, il faut dépolluer les bassins alimentés par la Seine. %Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau
+Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v(0)\in ]0,V[$. Le jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), on note $v(T)$ le volume occupé par les bactéries. La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
+\begin{itemize}
+    %\item Le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), les bactéries occupent un volume $v(T)\in[0,V]$;
+    \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre;
+    \item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v(T)\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin (où $f: [0,V] \to [0,V]$ est une fonction). Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin;
+    \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile et dépolluera l'eau où elle se trouve le jour $T+1$.
+\end{itemize}
 
-Au départ, un bassin de $V \, m^3$ d'eau ne contient que de l'eau polluée et on y place des bactéries dans un volume $v(0) < V$ d'eau.
+Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On pose: $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$.
 
-On suppose pour l'instant $D=E=1$.
+\q Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ?
 
-\q En fonction de $K$ et $v(0)$, est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin? Si oui, combien de jours faut-il au minimum pour dépolluer entièrement le bassin ?
+\medskip
+
+Désormais, pour simplifier, on suppose que $f(v) = K v$ si $0 \leqslant K v < V$ et $f(v) = V$ sinon, où $K > 0$ (car on considère que le terme en $\frac{-v^2}{V}$ est négligeable).
+
+\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau polluée, puis dans de l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin ? Dans ce(s) cas-là, combien de jours faut-il au minimum pour dépolluer entièrement le bassin ?
+
+\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau propre, puis dans de l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre meurent donc tout de suite sans se reproduire.
+\begin{enumerate}
+\item Étudier l'évolution de la suite $v(T)$. A-t-elle une limite? Si oui, laquelle?
+\item Si $K\leq 2$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin?
+\item Si $K= 4$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin?
+\item Étudier les cas $K>4$ et $2<K<4$.
+\item Dans les différents cas précédents, encadrer aussi précisément que possible le nombre de jours nécessaires pour que les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
+\end{enumerate}
 
 
-On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée chaque jour. Le volume $v(T+1)=K v(T)$ que les nouvelles bactéries occuperont le jour $T+1$ se trouve réparti dans les mêmes proportion que son état le jour $T$ (s'il y avait $a(T)V$ d'eau polluée sans bactéries, $b(T)V$ d'eau polluée avec bactéries et $c(T)V$ d'eau saine le jour $T$, avec $a(T)+b(T)+c(T) =1$, alors il y aura $a(T) K v(T)$ bactérie qui s'installeront dans l'eau polluée, le reste de l'eau étant devenu saine, les autres bactéries qui devraient occuper le reste du volume $(b(T)+c(T)) K v(T)$ mourront instantanément).
 
 
-\q En fonction de $K$ et $v(0)$, est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin? Si oui, combien de jours faut-il pour le dépolluer entièrement? Si non, quelle proportion du bassin restera polluée?
+%\q Les chercheurs s'aperçoivent que les bactéries se reproduisent $D$ fois avant de mourir (où $D\geq 1$ est en entier), mais toujours une fois par nuit (et donc, survivent pendant $D$ jours). Les bactéries mères se comportent comme les bactéries filles, mais mourront une nuit avant. Reprendre la question~\ref{depollutionQ1} dans ce cadre, en fonction de la valeur de $D$.
 
+%\medskip
+
+%Dans la suite du problème, on suppose que $D=1$.
+
+
+
+\medskip
+
+On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée peu avant minuit. Le volume que les nouvelles bactéries occuperont le jour $T+1$ se trouve réparti dans les mêmes proportions que son état le jour $T$ : s'il y avait $a(T)V$ d'eau polluée sans bactéries, $b(T)V$ d'eau polluée avec bactéries et $c(T)V$ d'eau saine le jour $T$, avec $a(T)+b(T)+c(T) =1$, alors il y aura $a(T)  K v(T)$ bactérie qui s'installeront dans l'eau polluée (le reste de l'eau étant dépollué, les autres bactéries qui devraient occuper le reste du volume $\big(b(T)+c(T)\big) K v(T)$ meurent à minuit).
+
+\q Trouver le plus de valeurs de $K$ et $v(0)$ pour lesquelles les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
 
 \q L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque jour, on fait rentrer dedans la quantité $w$ d'eau polluée de la Seine pour compenser l'eau qui s'est évaporée (dans les mêmes proportions que son état).
 On note $U(T)$, avec $0 < U(T) < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bassin. En fonction de $K$ et $v(0)$,
+
 \begin{enumerate}
-\item la suite $U(T)$ admet-elle une limite ?
-\item Si oui, laquelle ?
+\item La suite $U(T)$ admet-elle une limite ? Si oui, laquelle ?
 \item Si non, pour quelle(s) valeur(s) de $K$ et $v(0)$ est-elle périodique?
 \item Décrire le plus généralement possible cette suite.
 \end{enumerate}
 
-(4) Reprendre les questions précédentes si $D$ et $E$ sont des entiers quelconques.
+\medskip 
+
+
+
+
+\q Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage et que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v(T)) = K_1 v(T)$ et s'il pleut, on a $f(v(T)) = K_2 v(T)$ avec $K_1>K_2>0$. Il fait beau exactement un jour sur deux, et il pleut exactement un jour sur deux. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ?
+%\begin{enumerate}
+%\item Dans un premier temps, 
+%\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ? 
+%\end{enumerate}
+
+
+
+
+
+\q On retourne au cas général où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v(T)$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$. 
+%\begin{enumerate}
+%\item Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ?
+%\item On suppose que $K=1$. Reprendre la question~\textbf{1.} en fonction de la valeur de $v(0)$.
+%\end{enumerate}
+
+
+
+
+
+
+\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.
+
+\setcounter{question}{0}
+
+
+
+
+\q Notons plutôt $w(T) = v(T)/V$ la proportion de bactéries dans le bassin, de sorte que le nombre de filles sera $K w(T)$ et $u(T)$ la proportion d'eau dépolluée. On a $u(0) = 0$ et $u(T) = \sum_{n=0}^{T-1} w(n)$. On a $K w(T) - u(T) \leqslant w(T+1) \leqslant K w(T)$.
+
+a) (facile) Le cas d'égalité est réalisé pour la borne supérieure si les bactéries filles naissent chaque fois dans l'eau polluée.
+
+Si $K=1$, ça donne $w(T) \leqslant w(0)$ et $u(T) \leqslant T w(0)$.
+Si $K \neq 1$, alors $w(T) \leqslant K^T w(0)$ et $u(T) \leqslant w(0) \frac{1 - K^{T}}{1-K}$. Il faut distinguer $K>1$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si
+\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v(0) > (1-K) V\]
+Dans les cas de dépollution totale, le nombre de jour nécessaire pour dépolluer est
+\[
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+\left\lceil \frac{V}{v(0)}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\
+\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v(0)}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\
+\end{array}\right.
+\]
+
+b) et c) (moyen) Si $K < 1$ et qu'on peut dépolluer l'eau, comme $u(T)$ décroît vers $0$, on en déduit qu'il existe un jour où toutes les bactéries filles peuvent mourir. On ne peut pas être certain de dépolluer l'eau
+
+(facile) Si $K \leq 1$, dès le $2$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K v(0)$ (donc dépollué si $K v(0) \geq V$).
+
+(facile) Si $K \leq 2$, dès le $3$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K (K-1) v(0)$.
+
+(difficile) Si $2 < K < 4$, ça dépend de $v(0)$: parfois on ne pourra pas dépolluer, parfois on le pourra.
+
+(difficile) Si $K \geq 4$, il est toujours possible de dépolluer.
+
+(ouvert) Nombre de jours pour dépolluer ?
+
+Les valeurs propres du problème sont $0$ et $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$.
+
+\q (moyen-difficile)
+
+\q
+\begin{enumerate}
+\item $K\in[0,4]$
+\item (ouvert); difficulté: pas sûr que les stratégies optimales soient à chaque fois : \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau propre} et \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau sale}
+\item $K<1$: extinction;  $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations.
+\end{enumerate}
+
+\q (moyen)
+
+\q (difficile)
+
+\q (ouvert) b) un peu ambiguë?
+
+\nextPB
+
+\end{document} 

src/matheux_sociables.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Titre}
+\section{Matheux sociables}
 
 Énoncé
 

src/piece_truquee.tex

@@ -1,47 +1,61 @@
 \section{Pièces truquées}
 
-A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. A lance $N$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants). Avant chaque lancer, B essaye de prédire le résultat.
+A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : A lance une première fois la pièce, puis B essaye de prédire le résultat du lancer suivant, A lance à nouveau la pièce, B fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, A lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et B fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$.
 
-\q B gagne un point par bonne réponse. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est
+Un exemple de partie, pour $n=2$, est :
+\small \begin{itemize}[itemsep=0pt]
+	\item A tire pile
+	\item B prédit face
+	\item A tire face
+	\item B prédit pile
+	\item A tire face
+\end{itemize} \normalsize
+Dans ce cas, B a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse.
+
+\q B gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est :
 \begin{enumerate}
-	\item Toujours face ?
-	\item Le résultat du lancer précédent (B fait un premier lancer préliminaire)
+	\item toujours pile ?
+	\item le résultat du lancer précédent ?
 	\item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ?
 \end{enumerate}
 
-\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a et b de la question 1, quel est l'espérance de son gain si
+\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si :
 \begin{enumerate}
-	\item Il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ?
-	\item Il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1point pour la première, deux pour la deuxième...) ?
+	\item il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ?
+	\item il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ?
 \end{enumerate}
 
-\q Si le joueur B connaît p, quelle est la meilleure stratégie, en fonction de p ? Existe-t-il une stratégie indépendante de p qui soit meilleure que toutes les autres quel que soit p ?
+Maintenant B veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connaît pas la valeur de $p$ mais il sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est une partie de $[0,1]$.
 
-A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièce qui tombent sur pile avec proba p1 et p2 respectivement.
+Une \emph{stratégie} pour B est une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}=\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal.
 
-\q Le joueur A choisit la pièce 1 avec proba $r$ ou la pièce 2 avec proba $1-r$ avant la partie. Le joueur B connaît $p_1$, $p_2$, r mais pas la pièce choisie.
+\q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (ie. on n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ?
+
+\q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}$ et quel est-il si :
 \begin{enumerate}
-	\item Combien gagne-t-il en moyenne pour les stratégies de la question 1 ?
-	\item Quelle est la meilleure stratégie dans ce cadre ? (Celle qui maximise le gain moyen.)
+	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{2}]$ ?
+	\item $\mathcal{P}=[0,1]$ ?
+	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ?
 \end{enumerate}
 
-\q Maintenant, le joueur B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie.
+A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que le joueur B connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$.
+
+\q Quel est l'espérance du gain de B pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? Quelle est la meilleure stratégie possible (ie. celle maximisant l'espérance du gain) et que vaut alors le gain en moyenne ?
+
+\medskip
+
+B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. A lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, B peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon lui, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. B gagne $m$ point si sa déclaration est correcte (et aucun point s'il se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé.
+
+\q Quelle est la stratégie qui maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ?
+
+\medskip
+
+Désormais, A possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours de route. Avant la partie, il choisit uniformément au hasard un nombre $K$ entre $1$ et $n$ (inclus). Il tire la pièce~$1$ pour les lancers $0, ..., K-1$ et la pièce~$2$ pour les lancers $K, ..., n$. B connaît toujours les probabilités $p_1$, $p_2$.
+
+\q B doit deviner quel $K$ a été choisi par A.
 \begin{enumerate}
-	\item Le joueur A annonce ce qu'il pense être la pièce choisie à la fin des N lancers et gagne 1 point si sa supposition est bonne. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ?
-	\item Le joueur A annonce la pièce choisie en cours de route et gagne N-k points s'il fait la bonne prédiction après le k-ieme tirage. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ?
+	\item Il annonce sa prédiction après les $n+1$ lancers. Quelle stratégie lui permet de maximiser la probabilité d'avoir raison et quelle est alors cette probabilité ?
+	\item Après chaque lancer, $B$ peut décider de continuer ou d'annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. S'il a raison, il gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si il fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m<K$ et il ne gagne pas de point, soit $m\geq K$ et il gagne $n$ points mais perd un point par tour de retard de son annonce. Quelle stratégie lui permet de maximiser l'espérance de son gain et que vaut alors ce gain en moyenne ?
 \end{enumerate}
 
-\q Maintenant A commence par tirer la pièce 1 puis, à partir du K-ième lancer, tire la pièce 2, où K est choisi uniformément au hasard. B essaye de deviner K et gagne N - |K-K'| points, où K' est sa prédiction.
-\begin{enumerate}
-	\item Il annonce sa prédiction à la fin des N lancers. Quelle est la meilleure stratégie ? Quel est alors son gain moyen ?
-	\item Il fait sa prédiction après le lancer K'. Quel est la meilleure stratégie ? Quel est son gain moyen ?
-\end{enumerate}
-
-\begin{enumerate}
-	\item Si $P=[0,1]$, quel est le gain moyen minimal des stratégie a,b,c de la question 1 ?
-	\item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1/2]$ ? Quel est-il ?
-	\item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1]$ ? Quel est-il ?
-	\item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1/4]\cup [3/4,1]$ ? Quel est-il ?
-\end{enumerate}
-
-\q A possède maintenant deux pièces qui tombent sur pile avec probabilités respectives $p_1$ et $p_2$.
+\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. On pourra par exemple changer les lois de probabilité du problème, considérer des lancers non indépendants, étudier des cas avec plus de pièces, remplacer les pièces par des dés...

src/rebonds_etranges.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Titre}
+\section{Rebonds étranges}
 
 Énoncé
 

src/triominos.tex

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-\section{Titre}
+\section{Triominos}
 
 Énoncé
 
-\q Première question
+\graphicspath{ {./images/} }
 
-\q Deuxième question
+On considère un pavage triangulaire du plan comme illustré ci-dessous. 
+
+\begin{figure}[h]
+\includegraphics[scale=0.4]{src/Pavage.png}
+\centering
+\end{figure}
+
+Nous allons placer sur ce pavage des pièces de triomino qui sont des triangles équilatéraux sur lesquels sont inscrits dans chaque coin des numéros non nécéssairement distincts parmi $1, \dots, n$ où $n \in \mathbb{N}^{*}$ fixé. 
+Deux triominos peuvent se trouver à côté seulement si les numéros inscrits dans les coins de ces deux triangles coincident, comme le montre l'illustration suivante :
+
+\begin{figure}[h]
+\includegraphics[scale=0.5]{src/Triangle 1.png}
+\centering
+\end{figure}
+
+Dans la première partie de ce problème, on s'intéresse à une variante plus simple des triominos : les trominos modifiés, dans laquelle les numéros sont inscrits non pas sur les coins du triangle mais sur les côtés du triangle. 
+
+\begin{figure}[h!]
+\includegraphics[scale=0.5]{src/Triangle 2.png}
+\centering
+\end{figure}
+
+Nous allons étudier la faisabilité de la construction de certaines formes géométriques à l'aide de ces triominos modifiés. La seconde partie et la troixième partie s'intéresse à des propriétés analogues pour le jeu du triomino classique tel que décrit précédemment. 
+
+Dans l'intégralité du problème, on considère que les pièces sont invariantes par rotation, c'est-à-dire que tourner une pièce redonne la même pièce mais les pièces ne sont pas invariantes par symétrie, c'est-à-dire que retourner une pièce ne redonne pas la même pièce. Ainsi, les deux pièces ci-dessous sont considérés comme deux pièces distinctes. 
+
+\begin{figure}[h!]
+\includegraphics[scale=0.5]{src/Symetrie.png}
+\centering
+\end{figure}
+
+On dira qu'une configuration de triangle est connexe si elle est en "un seul morceau", c'est-à-dire qu'elle peut s'obtenir à partir d'un triangle en accolant successivement un nouveau triangle aux triangles déjà présents sur le pavage. Par exemple, la configuration formé des deux triangles symétriques ci-dessus n'est pas connexe.
+
+
+\subsection{Partie 1: Triominos modifiés}
+
+Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ un entier strictement positif fixé. On considère nos "triominos modifié" où les nombres sont répartis sur les arêtes des triangles. On Deux triangles peuvent être mis l'un à coté de l'autre lorsque le même nombre figure sur les arrêtes en contact.
+
+\q 1) On considère toutes les pièces de triomino modifié que l'on peut former en utilisant les nombre de $1$ à $n$, en respectant l'invariance des pièces par rotation mais pas par symétrie. Combien y-a-t-il de pièces ?
+
+\q 2.a) Réaliser une ligne droite utilisant toutes les pièces pour les cas : n = 2, 3 et 4.
+
+\q 2.b) Peut-on toujours réaliser une ligne droite utilisant l'intégralité des pièces ?
+
+\subsection{Partie 2 : Sous-ensemble de triominos}
+
+On considère dorénavant les pièces de triominos classiques. Dans cette partie, on considerera uniquement les pièces qui parmi les 3 nombres qui les composent, n'en ont qu'au plus deux de différents.
+
+\q 1) Combien y a-t-il de pièces ?
+
+\q 2) Existe t-il une ligne droite avec toutes les pièces si :
+a) $n = 2$ 
+b) $n \geq 4$ pair 
+c) $n$ impair 
+
+\q 3) Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?
+
+\subsection{Partie 3 : Triomino classique}
+
+On considère dorénavant un jeu de triomino "classique" muni de toutes ses pièces.
+
+\q 1) Combien y a-t-il de pièces ?
+
+\q 2) Existe-t-il toujours une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?
+
+\q 3) Existe-t-il toujours une ligne droite utilisant toutes les pièces ?
+
+\q 4) Quel est le plus grand losange qu'on puisse former en assemblant les pièces ?