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src/brioches.tex

@@ -6,7 +6,35 @@ par exemple, si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans disq
 La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$.
 
 
+\begin{figure}
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}[scale=1]
+        \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle;
+        \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
+        \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2);
+        
+	\draw (0,0) -- (2,0);
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.}
+    \label{fig:pate_basique}
+\end{figure}
 
+\begin{figure}
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}[scale=1]
+        \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle;
+        \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
+        \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1);
+        
+	\draw (0,0) -- (2,0);
+
+        \fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5);
+	\draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2);
+	\draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2);
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.}
+    \label{fig:pate_complexe}
+\end{figure}
 
 
 \q Avec ce procédé, \'Eric peut-il faire une brioche qui a la forme:

src/matheux_sociables.tex

@@ -2,17 +2,19 @@
 
 Lors d'une olympiade mathématique, des jeunes mathématiciens et mathématiciennes se rencontrent.
 L'organisateur souhaite que les participants s'échangent au maximum. Un bon moment pour socialiser est le repas commun. 
-Le but est donc \emph{d'élaborer un planning de placement des participants tel que chacun ait mangé au moins une fois avec chaque 
-autre participant à la même table}.
+\emph{L'objectif est d'élaborer un planning de placement des participants tel que chacun ait mangé au moins une fois avec chaque 
+autre participant à la même table.}
 
 Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p$ places avec $p>1$. 
 Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade. On note par $r$ le nombre de repas. 
 Pour un réel $x$, on note par $[x]$ le plus petit entier plus grand que $x$.
 
+\textcolor{red}{On pourrait décrire l'exemple $t=2, p=2$.}
+
 \q 
 \begin{enumerate} 
-    \item Montrer que pour atteindre le but, il faut avoir $r \geq [(n-1)/(p-1)]$.
-    \item Y a-t-il un exemple pour $t$ et $p$ tel qu'il faut strictement plus de $[(n-1)/(p-1)]$ repas ?
+    \item Montrer que l'inégalité $r \geq [(n-1)/(p-1)]$ est une condition nécessaire pour atteindre l'objectif.
+    \item Existe-t-il des valeurs pour $t$ et $p$ tel qu'il faut strictement plus de $[(n-1)/(p-1)]$ repas pour atteindre l'objectif ?
 \end{enumerate}
 
 \q Donner un planning optimal pour les cas suivants :
@@ -22,7 +24,7 @@ Pour un réel $x$, on note par $[x]$ le plus petit entier plus grand que $x$.
     \item $t=3$ et $p=6$.
 \end{enumerate}
 
-À partir de maintenant, on suppose toujours $p>2$.
+À partir de maintenant, on suppose $p>2$.
 
 \q Pour $t=2$, trouver le $r$ optimal et donner un planning optimal.
 

src/piece_truquee.tex

@@ -38,7 +38,7 @@ Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédicti
 	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ?
 \end{enumerate}
 
-A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Félicie connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$.
+A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Félicie connaît les probabilités $p_1$, $p_2$ et $q$.
 
 \q Quel est l'espérance du gain de Félicie pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Quelle est la meilleure stratégie possible (ie. celle maximisant l'espérance du gain) et que vaut alors le gain en moyenne ?
 

src/ping_pong.tex

@@ -61,31 +61,31 @@ Au départ, les joueuses sont dans une certaines configuration initiale, puis el
 
 Une configuration est dite \emph{stable} si après deux tours, les joueuses se retrouvent dans la même configuration.
 
-\q{1}
+\q
 On se fixe $1 \leq i \leq 2n$. Quelle est la table la plus haute à laquelle peut se trouver la joueuse $i$ dans une configuration stable ? Et la plus basse ?
 %Table la plus haute : $1$ si $i \leq n+1$, et $i-n$ sinon. Table la plus basse : $i$ si $i \leq n$, et $n$ sinon.
 
-\q{2}
+\q
 Estimer le nombre de configurations stables en fonction de $n$.
 %Il y en a $\binom{2n-2}{n-1}$ : à part les joueuses $1$ et $2n$, toutes les joueuses oscillent entre une table paire et une table impaire. L'ensemble des joueuses qui commencent à une table impaire détermine la configuration stable.
 
-\q{3}
+\q
 Montrer qu'après un nombre de tours suffisant, les joueuses atteindront forcément une configuration stable.
 %Montrer par récurrence sur $j$ que la table $j$ finit par se stabiliser.
 
-\q{4}
+\q
 Donner un encadrement en fonction de $n$ du plus grand nombre possible de tours qui peuvent être nécessaires pour atteindre une configuration stable.
 %L'argument brutal donne $\frac{n(n-1)}{2}$. On doit pouvoir faire autour de $n$, mais ça a pas l'air évident.
 
-\q{5}
+\q
 Soient $1 \leq i \leq 2n$ et $1 \leq j \leq n$. On sait que la joueuse $i$ doit commencer à la table $j$. En supposant qu'elle puisse choisir le reste de la configuration initiale comme cela l'arrange, quelle est la plus haute table qu'elle peut espérer atteindre une fois ?
 %En gros, elle peut atteindre la table 1 ssi $i+j \leq 2n$, et sinon la table $i+j-2n$ (à chaque fois, à une constante additive près qui doit être calculable et dépend peut-être de la parité).
 
-\q{6}
+\q
 On se donne $1 \leq j < k \leq n$. En fonction de $j$ et $k$, est-il possible qu'une joueuse commence à la dernière table, atteigne la table $j$ puis se stabilise plus tard à la table $k$ ?
 %À réflechir.
 
-\q{7}
+\q
 Les joueuses tiennent un carnet où elle notent leurs résultats sous la forme suivante : quand elles remportent un match, elles écrivent un $V$, et quand elles perdent, elles écrivent un $D$. Par exemple, si une joueuse remporte ses deux premiers matches puis perd les trois suivants, elle écrira le mot $VVDDD$. On dit qu'un mot formé de lettres $D$ et $V$ est \emph{inscriptible} si il existe une configuration initiale à $2n$ joueuses dans laquelle une des joueuses écrira ce mot. Par exemple, le mot $VV...V$ est toujours inscriptible car il sera inscrit par la joueuse $1$.
 \begin{itemize}
 \item Donner des exemples de mots inscriptibles et de mots non inscriptibles.
@@ -94,6 +94,6 @@ Les joueuses tiennent un carnet où elle notent leurs résultats sous la forme s
 \end{itemize}
 %Exemples : si une joueuse écrit $n$ fois de suite $V$, alors elle est la meilleure, donc son mot ne peut contenir que des $V$. En particulier, il existe des mots non inscriptibles pour $\ell=n+1$. Je pense que tous les mots de longueur $n$ sont inscriptibles, mais ça a l'air dur (j'y arrive pour $n/2$).
 
-\q{8}
+\q
 Parmi toutes les configurations initiales, estimer la proportion des configurations qui font que la joueuse $3$ n'atteindra jamais la table $1$. Essayer de généraliser.
 %À peu près $1/6$ : il faut que la joueuse $3$ démarre derrière les joueuses 1 et 2, et que les choses se passent mal au niveau parité. Le but est de leur faire faire des probas sans le dire. En remplaçant $3$ par $4$, la proportion vaut $5/16$.