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src/brioches.tex

@@ -38,7 +38,7 @@ Fabrice aimerait notamment fabriquer les formes de cookie suivantes :
     \item un disque de rayon $R$;
     \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$;
     \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$;
-    \item un anneau de rayon intérieur $R_1$ et de rayon extérieur $R_2$ (avec $R_2>R_1$), les deux cercles étant inclus dans le cookie.
+    \item un anneau de rayon intérieur $R_1$ et de rayon extérieur $R_2$ (avec $R_2>R_1$), les deux cercles qui constituent le bord de l'anneau étant inclus dans le cookie.
 \end{enumerate}
 
 \begin{center}
@@ -57,13 +57,13 @@ Fabrice aimerait notamment fabriquer les formes de cookie suivantes :
 
 \medskip
 
-La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire un cookie est la somme des longueurs des segments où Perrine place de la pâte.
+La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire un cookie est la somme des longueurs des segments où Fabrice place de la pâte.
 
 \q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des cookies, avec quelles quantités de pâte Fabrice peut-il la réaliser ?
 
 \medskip
 
-La précision de la poche à douille de Fabrice étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Fabrice est de précision $r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Fabrice. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Fabrice peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux questions suivantes vont donc dépendre de $r$.
+La précision de la poche à douille de Fabrice étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Fabrice est de précision~$r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Fabrice. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Fabrice peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux questions suivantes vont donc dépendre de $r$.
 
 En particulier, les $0$-cookies sont exactement les cookies, et tout $r$-cookie est un cookie.
 
@@ -84,17 +84,19 @@ En particulier, les $0$-cookies sont exactement les cookies, et tout $r$-cookie
 
 \medskip
 
-Fabrice s'intéresse maintenant à la forme du bord de ses $r$-cookies. Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions continues telles que :
+Fabrice s'intéresse maintenant à la forme du bord de ses $r$-cookies. Pour cela on suppose qu'elle dispose de deux fonctions continues $x : \R \to \R$ et~$y : \R \to \R$ qui vérifient les propriétés suivantes :
+
 \begin{itemize}
-    \item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$,
+    \item elles sont 1-périodiques, c'est-à-dire que $x(t+1) = x(t)$ et $y(t+1) = y(t)$ pour tout $t$ réel,
-    \item pour toutes les autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$.
+    \item pour toutes valeurs de $t$ et $t'$, tel que on a simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$, alors la différence $t-t'$ est entière.
 \end{itemize}
 
-Fabrice trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\left(x(t),y(t)\right)$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est un $r$-cookie.
+Fabrice trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\left(x(t),y(t)\right)$, appelé \textbf{contour}. Il cherche maintenant à savoir si la partie du plan que le contour délimite (que l'on suppose bien définie) est un~$r$-cookie.
 
-\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas un $r$-cookie ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 
 
-\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit un cookie, mais qui ne soit un $r$-cookie pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 
+\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas un~$r$-cookie ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 
+
+\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit un cookie, mais qui ne soit un~$r$-cookie pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 
 
 %Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ?
 

src/depollution_seine.tex

@@ -1,21 +1,29 @@
 \section{Dépollution de la Seine}
 Pour les épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, certains bassins, alimentés par la Seine, doivent être dépollués.
 
-Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v_0\in [0,V]$ (elles sont suffisamment peu nombreuses pour ne pas faire augmenter le volume d'eau contenu dans le bassin, elles n'ont pas de volume propre mais occupent une partie de l'eau du bassin). On note $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$). La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
+Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v_0\in [0,V]$ (elles sont suffisamment peu nombreuses pour ne pas faire augmenter le volume d'eau contenu dans le bassin, elles n'ont pas de volume propre mais occupent une partie de l'eau du bassin). On note $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$ (avec~$T\in\mathbb{N}$). La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
 \begin{itemize}
     \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre.
     \item Au coucher du soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas.
-    \item Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin (précisé plus bas).
+    \item Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin. La manière dont elles se déplacent varie selon les questions et sera précisée.
     \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile (elle dépolluera l'eau où elle se trouve le midi du jour $T+1$).
 \end{itemize}
 
-Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On prend donc $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$.
+Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On prend donc 
+$$f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right).$$
 
 \q Quelles sont les valeurs possibles de $K$ qui garantissent que si $0\leq v_0 \leq V$, alors $0\leq v_T \leq V$ pour tout $T$ ?
 
 \medskip
 
-Désormais, pour simplifier, on prend $f(v) = Kv$ si $0 \leq Kv < V$ et $f(v) = V$ sinon, où $K > 0$ (autrement dit, on considère que le terme $-\frac{v^2}{V}$ est négligeable, sauf dans la dernière question).
+Désormais, pour simplifier, on prend pour l'instant
+$$ f(v)=\left \{
+\begin{array}{ll}
+	Kv \text{ si } 0 \leq Kv \leq V,\\
+	V \text{ sinon,}
+\end{array}
+\right.$$
+où $K$ est une constante strictement positive. Autrement dit, on considère que le terme $-v^2/V$ est négligeable. La question \textbf{7.} adresse le cadre sans cette simplification.
 
 \q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau polluée, puis dans l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Pour quelles valeurs de $K$ et de $v_0$ les bactéries nettoient-elles entièrement le bassin ? Dans ce cas-là, combien de jours faut-il pour dépolluer entièrement le bassin ?
 
@@ -36,7 +44,7 @@ Désormais, pour simplifier, on prend $f(v) = Kv$ si $0 \leq Kv < V$ et $f(v) =
 
 \medskip
 
-On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée entre le coucher du soleil et minuit. A minuit, les bactéries se trouveront donc proportionnellement réparties dans l'eau propre et polluée : si l'eau propre et l'eau polluée occupent respectivement un volume $a_T V$ et $b_T V$ dans le bassin (où $a_T + b_T =1$), alors les volumes de bactéries dans l'eau propre et polluée seront respectivement $f\big( v_T \big) a_T$ et $f\big( v_T \big) b_T$.
+On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée entre le coucher du soleil et minuit. \`A minuit, les bactéries se trouveront donc proportionnellement réparties dans l'eau propre et polluée : si l'eau propre et l'eau polluée occupent respectivement un volume $a_T V$ et $b_T V$ dans le bassin (où $a_T + b_T =1$), alors les volumes de bactéries dans l'eau propre et polluée seront respectivement $f\left( v_T \right) a_T$ et $f \left( v_T \right) b_T$.
 
 \q Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K$ et $v_0$ pour que les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
 

src/matheux_sociables.tex

@@ -1,7 +1,9 @@
 \section{Rassemblements mathématiques}
 
+
 Lors d'un tournoi de mathématiques, des jeunes mathématiciennes et mathématiciens se rencontrent. Perrine doit définir des \emph{plans de placements} pour les repas, c'est-à-dire définir chaque jour qui s'assiéra où. Elle souhaite que les participants se mélangent au maximum au moment des repas donc élaborer un plan de placement des participants sur plusieurs jours de sorte que chacun ait mangé au moins une fois avec tous les autres. Un tel plan est dit \textbf{idéal}.
 
+
 Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p \geq 2$ places. Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade et prennent $r$ repas ensemble.
 
 \begin{figure}[!ht]
@@ -28,36 +30,39 @@ Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p \geq 2$ places. Au t
 \draw[dashed] (2,-0.5) -- (2,2);
 \draw[dashed] (6,-0.5) -- (6,2);
 \end{tikzpicture}
-\caption{Exemple de plan de placement idéal pour $p=2$, $t=2$, $r=3$ avec quatre participants A, B, C et D}
+\caption{Exemple de plan de placement idéal pour $p=2$, $t=2$, $r=3$ avec quatre participants A, B, C et D.}
 \end{figure}
 
-\q Perrine peut-elle toujours trouver un plan idéal si $r=\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ? Que se passe-t-il si on a $r<\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ?
+
+\q Perrine peut-elle toujours trouver un plan idéal si $r=\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ? Que se passe-t-il si on a~$r<\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ?
+
 
 \q Donner le $r$ minimal permettant de construire un plan idéal et décrire ce plan dans les cas suivants :
 \begin{enumerate}
-    \item $p=2$ et $t=3$,
+    \item si $p=2$ et $t=3$,
-    \item $t=p=3$,
+    \item si $t=p=3$,
-    \item $t=3$ et $p=6$,
+    \item si $t=3$ et $p=6$,
-    \item $t=2$ et $p$ quelconque.
+    \item si $t=2$ et $p$ quelconque.
 \end{enumerate}
 
 \q Estimer la valeur minimale de $r$ permettant de construire un plan idéal et décrire ce plan dans les cas suivants :
 \begin{enumerate}
-    \item $t=p$ (on pourra commencer par regarder les cas où $p$ est un nombre premier ou une puissance de nombre premier) ;
+    \item si $t=p$ (on pourra commencer par regarder les cas où $p$ est un nombre premier ou une puissance de nombre premier) ;
-    \item $t$ est une puissance de $p$.
+    \item si $t$ est une puissance de $p$.
 \end{enumerate}
 
 \q Proposer d'autres plans idéaux dans le cas général.
 
 \medskip
 
-Pour éviter que les participants ne se lassent, Perrine essaie d'uniformiser le plan : elle veut faire en sorte que deux participants quelconques ne se retrouvent pas plus de $f$ fois à la même table, où $f \geq 1$. Un tel plan est dit \textbf{$f$-uniforme}.
+Pour éviter que les participants ne se lassent, Perrine essaie d'uniformiser le plan : elle veut faire en sorte que deux participants quelconques ne se retrouvent pas plus de $f$ fois à la même table, où $f \geq 1$. Un tel plan est dit~\textbf{$f$-uniforme}.
+
 
 \q Décrire les valeurs de $p$ et $t$ pour lesquelles on peut trouver un plan idéal $1$-uniforme.
 
 \q Existe-t-il toujours un plan idéal $2$-uniforme ? Plus généralement, existe-t-il une valeur de $f$ telle qu'il existe un plan idéal $f$-uniforme quels que soient $p$ et $t$ ?
 
-\q Estimer, en fonction de $p$ et $t$, la valeur minimale de $f$ pour laquelle il existe un plan idéal $f$-uniforme. On pourra reprendre les cas particuliers proposés précédemment.
+\q Estimer, en fonction de $p$ et $t$, la valeur minimale de $f$ pour laquelle il existe un plan idéal~$f$-uniforme. On pourra reprendre les cas particuliers proposés précédemment.
 
 \q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
 

src/oracle.tex

@@ -2,7 +2,9 @@
 
 Anaïs cherche à créer un jeu de société. Ce jeu nécessite de numéroter des cartes avec certaines contraintes. Le jeu est constitué d'un ensemble de $N \ge 2$ cartes comportant chacune un symbole différent. Chaque paire de symboles (différents) est \textbf{autorisée} ou \textbf{interdite}. On appelle \textbf{configuration} l'ensemble des paires autorisées.
 
-Anaïs veut permettre aux joueurs de savoir exactement quelles paires sont autorisées mais plutôt que de donner la liste exhaustive de paires autorisées, elle procède de la façon suivante : elle écrit sur chaque carte un numéro différent entre $1$ et $N$ et fournit aux joueurs un manuel avec $2N$ pages dans lequel chaque page comporte le mot \og{}autorisée \fg{} ou \og{}interdite \fg{} tel que pour connaître le statut d'une paire, il suffit pour les joueurs d'additionner les numéros présents sur les deux cartes et de regarder la page du manuel correspondante. Il est possible que certains numéros de page ne soient pas atteignables comme somme de numéros de cartes. Dans ce cas, ce qui est écrit dessus n'importe pas.
+
+Anaïs veut permettre aux joueurs de savoir exactement quelles paires sont autorisées mais plutôt que de donner la liste exhaustive de paires autorisées, elle procède de la façon suivante : elle écrit sur chaque carte un numéro différent entre $1$ et $N$ et fournit aux joueurs un manuel avec~$2N$ pages dans lequel chaque page comporte le mot \og{}autorisée \fg{} ou \og{}interdite \fg{} tel que pour connaître le statut d'une paire, il suffit pour les joueurs d'additionner les numéros présents sur les deux cartes et de regarder la page du manuel correspondante. Il est possible que certains numéros de page ne soient pas atteignables comme somme de numéros de cartes. Dans ce cas, ce qui est écrit dessus n'importe pas.
+
 
 Une configuration est \textbf{admissible} s'il est possible pour Anaïs d'effectuer la construction précédente, c'est-à-dire de numéroter les cartes et créer le manuel correspondant.
 
@@ -25,7 +27,9 @@ Un exemple avec $N=5$ est le suivant: le jeu comporte $5$ cartes $A$, $B$, $C$,
 
 \medskip
 
-Pour pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Anaïs s'autorise à numéroter les cartes avec des nombres deux à deux distincts de $1$ à $M$ avec $M\geq N$. Une configuration est dite \textbf{$M$-admissible} si Anaïs peut construire une telle numérotation et un manuel associé.
+
+Pour pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Anaïs s'autorise à numéroter les cartes avec des nombres deux à deux distincts de $1$ à $M$ avec $M\geq N$. Une configuration pour laquelle Anaïs peut construire une telle numérotation et un manuel associé est dite dite~\textbf{$M$-admissible}.
+
 
 \q Estimer, en fonction de $N$, le $M$ minimal pour lequel toute configuration est $M$-admissible. Donner des exemples de configurations pour lesquelles on peut calculer le $M$ minimal pour lequel elles sont $M$-admissibles. On s'intéressera aux différents modes de combinaison des cartes (somme, PGCD...).
 

src/piece_truquee.tex

@@ -1,18 +1,22 @@
 \section{Pièces truquées}
 
-Soit $n\geq 1$ un entier. Félix et Clara jouent à un jeu de pile ou face. Félix possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : Félix lance une première fois la pièce, puis Clara essaye de prédire le résultat du lancer suivant, Félix lance à nouveau la pièce, Clara fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, Félix lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et Clara fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$. Les $n+1$ lancers et les $n$ prédictions constituent une \textbf{partie}.
+
+Soit $n\geq 1$ un entier. Félix et Clara jouent à un jeu de pile ou face. Félix possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : Félix lance une première fois la pièce, puis Clara essaye de prédire le résultat du lancer suivant, Félix lance à nouveau la pièce, Clara fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, Félix lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et Clara fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$,..., $n$. Les $n+1$ lancers et les $n$ prédictions constituent une \textbf{partie}.
 
 Un exemple de partie, pour $n=2$, est :
 \small \begin{itemize}[itemsep=0pt]
-	\item Félix tire pile
+	\item Félix tire pile,
-	\item Clara prédit face
+	\item Clara prédit face,
-	\item Félix tire face
+	\item Félix tire face,
-	\item Clara prédit pile
+	\item Clara prédit pile,
-	\item Félix tire face
+	\item Félix tire face.
+
 \end{itemize} \normalsize
 Dans ce cas, Clara a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse.
 
-\q Clara gagne un point par prédiction juste. Son nombre total de points à la fin de la partie est appelé son \emph{gain}. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est :
+
+\q On suppose dans cette question que Clara gagne un point par prédiction juste. Son nombre total de points à la fin de la partie est appelé son \emph{gain}. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est :
+
 \begin{enumerate}
 	\item toujours pile ?
 	\item le résultat du lancer précédent ?
@@ -27,20 +31,26 @@ Dans ce cas, Clara a fait une première prédiction juste et une deuxième préd
 
 Maintenant Clara veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Elle ne connaît pas la valeur de $p$ mais elle sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est un sous-ensemble de $[0,1]$.
 
-Une \emph{stratégie} pour Clara est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne trois exemples de stratégies. Soit $G_{\mathcal{S},p}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, avec $p$ la probabilité que la pièce tombe sur pile. On définit le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ comme $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}(G_{\mathcal{S},p})$. Autrement dit, $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire pour celle où ce gain espéré est le plus bas.
 
-\q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (c'est-à-dire qu'elle n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ?
+Une \emph{stratégie} pour Clara est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne trois exemples de stratégies. Soit $G_{\mathcal{S},p}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, avec $p$ la probabilité que la pièce tombe sur pile. On définit le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie~$\mathcal{S}$ comme $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}(G_{\mathcal{S},p})$. Autrement dit, $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire pour celle où ce gain espéré est le plus bas.
+
+
+\q Si Félicie n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$, c'est-à-dire que $\mathcal{P}=[0,1]$. Quel est le gain minimal espéré pour les stratégies a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ?
+
 
 \q Trouver une stratégie $\mathcal{S}$ qui donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ parmi toutes les stratégies possibles (et le calculer) si :
+
 \begin{enumerate}
-	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{3}]$ ?
+	\item si $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{3}]$ ?
-	\item $\mathcal{P}=[0,1]$ ?
+	\item si $\mathcal{P}=[0,1]$ ?
-	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ?
+	\item si $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ?
 \end{enumerate}
 
 \medskip
 
-A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Clara connaît les probabilités $p_1$, $p_2$ et $q$ (donc les choix de prédictions qu'elle fait peuvent dépendre de $p_1$, $p_2$ et $q$).
+
+\`A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire~$n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Clara connaît les probabilités~$p_1$,~$p_2$ et $q$ (donc les choix de prédictions qu'elle fait peuvent dépendre de $p_1$, $p_2$ et $q$).
+
 
 \q Quelle est l'espérance du gain de Clara pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Parmi toutes les stratégies possibles, en trouver une pour laquelle l'espérance du gain est la plus grande possible, et la calculer.
 

src/ping_pong.tex

@@ -1,8 +1,8 @@
 \section{Tournoi de ping--pong}
 
-Soit $n \geq 2$ un entier. Dans un club de ping-pong, il y a $2n$ joueuses numérotées de $1$ à $2n$. On suppose que les joueuses sont classées de la plus forte à la moins forte, de sorte que quand les joueuses $i$ et $j$ s'affrontent en match, si $i<j$, alors la joueuse $i$ gagne toujours contre la joueuse $j$. Les matchs ont lieu sur $n$ tables numérotées de $1$ à $n$. On appelle \emph{configuration} une manière de répartir les $2n$ joueuses sur les $n$ tables de sorte qu'il y a exactement $2$ joueuses à chaque table.
+Soit $n \geq 2$ un entier. Dans un club de ping-pong, il y a $2n$ joueuses numérotées de $1$ à $2n$. On suppose que les joueuses sont classées de la plus forte à la moins forte, de sorte que quand les joueuses $i$ et $j$ s'affrontent en match, si $i<j$, alors la joueuse $i$ gagne toujours contre la joueuse $j$. Les matchs ont lieu sur $n$ tables numérotées de $1$ à $n$. On appelle \textbf{configuration} une manière de répartir les $2n$ joueuses sur les $n$ tables de sorte qu'il y ait exactement $2$ joueuses à chaque table.
 
-Au départ, les joueuses sont dans une configuration initiale puis elles jouent par tours successifs. Un tour se déroule de la manière suivante : à chaque table, les deux joueuses présentes s'affrontent puis pour tout numéro de table $k$, la gagnante de la table $k$ monte à la table $k-1$ (sauf si $k=1$, auquel cas elle reste à la table $1$), et la perdante de la table $k$ descend à la table $k+1$ (sauf si $k=n$, auquel cas elle reste à la table $n$).
+Au départ, les joueuses sont dans une configuration initiale puis elles jouent par tours successifs. Un tour se déroule de la manière suivante : à chaque table, les deux joueuses présentes s'affrontent puis pour tout numéro de table $k$, la gagnante de la table $k$ monte à la table~$k-1$ (sauf si $k=1$, auquel cas elle reste à la table $1$), et la perdante de la table $k$ descend à la table~$k+1$ (sauf si $k=n$, auquel cas elle reste à la table $n$). On dira qu'une table est plus \textbf{haute} qu'une autre si son numéro est plus petit que l'autre.
 
 \begin{figure}[!ht]
 \begin{center}
@@ -59,7 +59,7 @@ Au départ, les joueuses sont dans une configuration initiale puis elles jouent
 
 \end{figure}
 
-Une configuration est dite \emph{stable} si après deux tours, les joueuses se retrouvent dans la même configuration.
+Une configuration est dite \textbf{stable} si après deux tours, les joueuses se retrouvent dans la même configuration.
 
 \q On fixe $1 \leq i \leq 2n$. Quelle est la table la plus haute à laquelle peut se trouver la joueuse $i$ dans une configuration stable ? Et la plus basse ?
 
@@ -71,7 +71,7 @@ Une configuration est dite \emph{stable} si après deux tours, les joueuses se r
 
 \q On se donne $1 \leq k < l \leq n$. En fonction de $k$ et $l$, est-il possible qu'une joueuse commence à la dernière table, atteigne la table $k$ puis se stabilise plus tard à la table $l$ ?
 
-\q Les joueuses tiennent un carnet où elle notent leurs résultats sous la forme suivante : quand elles remportent un match, elles écrivent un $V$, et quand elles perdent, elles écrivent un $D$. Par exemple, si une joueuse remporte ses deux premiers matchs puis perd les trois suivants, elle écrira le mot $VVDDD$. On dit qu'un mot formé de lettres $D$ et $V$ est \emph{inscriptible} s'il existe une configuration initiale à $2n$ joueuses dans laquelle une des joueuses écrira ce mot. Par exemple, le mot $VV...V$ est toujours inscriptible car il sera inscrit par la joueuse $1$.
+\q Les joueuses tiennent un carnet où elles notent leurs résultats sous la forme suivante : quand elles remportent un match, elles écrivent un $V$, et quand elles perdent, elles écrivent un $D$. Par exemple, si une joueuse remporte ses deux premiers matchs puis perd les trois suivants, elle écrira le mot $VVDDD$. On dit qu'un mot formé de lettres $D$ et $V$ est \textbf{inscriptible} si il existe une configuration initiale à $2n$ joueuses dans laquelle une des joueuses écrira ce mot. Par exemple, le mot $VV...V$ est toujours inscriptible car il sera inscrit par la joueuse $1$.
 \begin{enumerate}
 \item Donner des exemples de mots inscriptibles et de mots non inscriptibles.
 \item En fonction de $n$, estimer le plus grand $\ell$ pour lequel tous les mots de longueur $\ell$ sont inscriptibles.

src/rebonds_etranges.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Électron libre}
 
-Nicolas joue dans un laboratoire de physique. Il dispose d'un canon à électrons immergé dans un champ magnétique constant uniforme. Les lois de la physique classique nous apprennent que l'électron se déplace alors à vitesse constante en décrivant un cercle dans le sens trigonométrique, que l'on supposera de rayon 1.
+Nicolas joue dans un laboratoire de physique. Il dispose d'un canon à électrons immergé dans un champ magnétique constant uniforme. Les lois de la physique classique nous renseignent alors que l'électron se déplace alors à vitesse constante en décrivant un cercle dans le sens trigonométrique, que l'on supposera de rayon 1.
 
 Nicolas dispose également d'un bouton qui permet de faire faire demi-tour à l'électron : au moment où il appuie, la vitesse de l'électron reste la même mais dans la direction opposée. Il essaye ainsi, à l'aide de cette seule commande, de guider l'électron.
 
@@ -19,7 +19,7 @@ La figure \ref{fig:traj_elec} représente une trajectoire possible de l'électro
 		\draw[thick,gray,dashed] (fin) arc (60:300:1) arc (120:360:1);
 		\draw[black,fill=bleuAnimath] (0,-0.2) rectangle ++(-0.7,0.4);
 	\end{tikzpicture}
-	\caption{Un exemple de trajectoire de l'électron}
+	\caption{Un exemple de trajectoire de l'électron.}
 	\label{fig:traj_elec}
 \end{figure}
 
@@ -29,7 +29,7 @@ La figure \ref{fig:traj_elec} représente une trajectoire possible de l'électro
 \item Quelle est la distance minimale parcourue par l'électron pour aller de $A$ à $B$ ?
 \end{enumerate}
 
-Nicolas dessine un cercle de rayon $r>0$ et place le canon à électrons sur le bord du cercle, pointé vers son centre. Il veut faire en sorte que l'électron ne touche jamais le cercle (sauf à l'instant initial).
+Nicolas dessine un cercle de rayon $r>0$ et place le canon à électrons sur le bord du cercle, pointé vers son centre. Il veut faire en sorte que l'électron ne touche jamais le cercle après l'instant initial.
 
 La figure \ref{fig:traj_cerc} représente un exemple de trajectoire dans un cercle de rayon $r=2$. Il ne touche jamais le cercle gris et, après deux demi-tours, tourne sur lui-même indéfiniment.
 
@@ -44,7 +44,7 @@ La figure \ref{fig:traj_cerc} représente un exemple de trajectoire dans un cerc
 		\draw[black,fill=bleuAnimath] (-2,-0.2) rectangle ++(-0.7,0.4);
 		\draw[gray,dashed] (0,0) -- ++(-145:2) node[pos=0.5,sloped,above]{$r$};
 	\end{tikzpicture}
-	\caption{Un exemple de trajectoire de l'électron dans un cercle de rayon $r=2$}
+	\caption{Un exemple de trajectoire de l'électron dans un cercle de rayon $r=2$.}
 	\label{fig:traj_cerc}
 \end{figure}
 
@@ -70,9 +70,9 @@ Maintenant, Nicolas ne dispose plus d'un bouton pour faire faire demi-tour à l'
 	\end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Il les dispose de sorte à former un polygone convexe (c'est-à-dire dont tous les angles intérieurs sont de mesure strictement comprise entre $0$ et $\pi$). On suppose que l'électron est tiré de sorte qu'il ne passe jamais par un des sommets du polygone.
+Il les dispose de sorte à former un polygone convexe, c'est-à-dire dont tous les angles intérieurs sont de mesure strictement comprise entre $0$ et $\pi$. On suppose que l'électron est tiré de sorte qu'il ne passe jamais par un des sommets du polygone.
 
-Un polygone convexe est dit \emph{admirable} si Nicolas peut faire rebondir l'électron sur les côtés du polygone dans n'importe quel ordre. Autrement dit, en numérotant les côtés du ploygone $1$, ..., $M$ dans n'importe quel ordre, il est possible de placer le canon à électrons de sorte que l'électron rebondisse sur le côté $1$ puis $2$ puis... puis $M$.
+Un polygone convexe est dit \textbf{admirable} si Nicolas peut faire rebondir l'électron sur les côtés du polygone dans n'importe quel ordre. Autrement dit, pour n'importe quelle numérotation des côtés du polygone avec les entiers de~$1$ à $M$, il est possible de placer le canon à électrons de sorte que l'électron rebondisse sur le côté $1$ puis $2$ et ainsi de suite jusqu'à $M$.
 
 La figure \ref{fig:traj_tri} représente un quatrilatère (en orange) dont on a numéroté les côtés et une trajectoire possible d'un électron qui respecte cet ordre : il rebondit successivement sur les côtés $1$ puis $2$ puis $3$ puis $4$. Pour que ce polygone soit admirable, il faudrait pouvoir faire la même chose quels que soient les numéros attribués aux côtés de ces polygones.
 

src/triominos.tex

@@ -10,7 +10,7 @@ Soit $n\geq 1$ un entier, fixé dans la suite du problème. Alexander a des piè
 \draw (1.35,.766) node{$3$};
 \end{tikzpicture}
 
-\caption{Un exemple de triomino avec sur les côtés les valeurs $1$, $3$ et $3$}
+\caption{Un exemple de triomino avec sur les côtés les valeurs $1$, $3$ et $3$.}
 \end{figure}
 \end{center}
 
@@ -103,7 +103,7 @@ Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur les sommet
 \draw (2.7,1.966) node{$1$};
 \draw (2,3.064) node{$3$};
 \end{tikzpicture}
-\caption{Exemple de configuration possible}
+\caption{Exemple de configuration possible.}
 \end{figure}
 \end{center}